Зодиак и планеты. Почему планеты движутся вокруг солнца

→

Как двигаются планеты?

Невооруженным глазом мы можем различить семь небесных тел, положение которых относительно звезд меняется.

Эти небесные тела древние астрономы называли планетами (в переводе с греческого «странниками»), к ним относится Солнце, Луна, Меркурий, Венера, Марс, Юпитер и Сатурн.

Как определить положение Солнца относительно звезд? Подобно тому, как это делали древние египтяне, вавилоняне и греки, нужно наблюдать звездное небо непосредственно перед восходом Солнца либо сразу после заката. Именно так можно убедиться, что Солнце каждый день меняет свое положение относительно звездного неба и смещается приблизительно на 1 градус к востоку. А ровно через год Солнце возвращается в прежнюю точку относительно расположения звезд. По результатам этих наблюдений естественным образом определяется эклиптика- видимая траектория движения Солнца между звезд.

Во время движения по эклиптике Солнце проходит через 12 созвездий: Овен, Телец, Близнецы, Рак, Лев, Дева, Весы, Скорпион, Стрелец, Козерог, Водолей и Рыбы. Пояс вдоль эклиптики шириной около 16 градусов, в котором заключены эти созвездия, называется зодиаком.

Солнце во время видимого движения вдоль эклиптики в дни равноденствий находится на небесном экваторе, а затем постепенно отдаляется от него. Наибольшее отклонение в обе стороны от небесного экватора составляет примерно 23,5 градусов и наблюдается в дни солнцестояний. Греки заметили, что скорость видимого движения Солнца вдоль эклиптики зимой несколько больше, чем летом.

Остальные планеты как и Солнце, помимо суточного движения на запад, также движутся на восток, но медленнее.

Луна движется на восток быстрее чем Солнце, и ее траектория более хаотична. Полный оборот вдоль зодиака с востока на запад Луна совершает в среднем за 27 и одну треть суток. Промежуток времени, в течение которого Луна совершает полный оборот вдоль зодиака, двигаясь с востока на запад, называется сидерическим периодом обращения. Сидерический период обращения Луны может отличаться от среднего периода на целых 7 часов. Было также замечено, что траектория движения Луны по звездному небу в определенный момент совпадает с эклиптикой, после чего постепенно удаляется от нее, пока не достигнет максимального отклонения примерно в 5 градусов, затем вновь приближается к эклиптике и отклоняется от нее на такой же угол, но в противоположную сторону.

Меркурий, Венера, Марс, Юпитер и Сатурн- пять планет, которые видны на звездном небе как яркие точки. Их средние сидерические периоды обращения составляют: для Меркурия −1 год, для Венеры-1 год, для Марса −687 дней, для Юпитера- 12 лет, для Сатурна- 29,5 лет. Фактические периоды обращения для всех планет могут отличаться от приведенных средних значений.

Движение планет с запада на восток называется прямым или собственным. Скорость прямого движения этих пяти планет постоянно меняется.

Кроме того, стало неожиданным открытием то, что прямое движение планет на восток периодически прерывается и планеты движутся в обратном направлении, то есть на запад. В это время их траектории образуют петли, после чего планеты вновь продолжают прямое движение. Во время обратного или попятного движения яркость планет возрастает. На иллюстрации — попятное движение Венеры, которое начинается каждые 584 дня.

Меркурий начинает попятное движение каждые 116 дней, Марс- каждые 780 дней, Юпитер- каждые 399 дней, Сатурн- каждые 378 дней.

Меркурий и Венера никогда не отдаляются от Солнца на значительное угловое расстояние, в отличие от Марса, Юпитера и Сатурна.

Следует отметить, что увязать движение планет с движением звезд было настолько сложно, что всю историю развития представлений о мире можно рассматривать как последовательные попытки преодолеть наблюдавшиеся расхождения

10.1. Планетные конфигурации

Планеты Солнечной системы обращаются вокруг Солнца по эллиптическим орбитам (см.законы Кеплера ) и делятся на две группы. Планеты, которые расположены ближе к Солнцу, чем Земля, называются нижними . Это Меркурий и Венера. Планеты, которые расположены дальше от Солнца, чем Земля, называются верхними . Это Марс, Юпитер, Сатурн, Уран, Нептун и Плутон.

Планеты в процессе обращения вокруг Солнца могут располагаться относительно Земли и Солнца произвольным образом. Такое взаимное расположение Земли, Солнца и планеты называется конфигурацией . Некоторые из конфигураций являются выделенными и носят специальные названия (см. рис. 19).

Нижняя планета может располагаться на одной линии с Солнцем и Землей: либо между Землей и Солнцем - нижнее соединение , либо за Солнцем - верхнее соединение . В момент нижнего соединения может произойти прохождение планеты по диску Солнца (планета проецируется на диск Солнца). Но из-за того, что орбиты планет не лежат в одной плоскости, такие прохождения случаются не каждое нижнее соединение, а достаточно редко. Конфигурации, при которых планета при наблюдении с Земли находится на максимальном угловом удалении от Солнца (это наиболее благоприятные периоды для наблюдения нижних планет), называются наибольшими элонгациями, западной и восточной .

Верхняя планета также может находиться на одной линии с Землей и Солнцем: за Солнцем - соединение , и по другую сторону от Солнца - противостояние . Противостояние - это самое благоприятное время для наблюдения верхней планеты. Конфигурации, при которых угол между направлениями с Земли на планету и на Солнце равен 90 o , называются квадратурами, западной и восточной .

Промежуток времени между двумя последовательными одноименными конфигурациями планеты называется ее синодическим периодом обращения P , в отличие от истинного периода ее обращения относительно звезд, называемого поэтому сидерическим S . Разница между этими двумя периодами возникает из-за того, что Земля тоже обращается вокруг Солнца с периодом T . Синодический и сидерический периоды связаны между собой:

для нижней планеты, и
для верхней.

10.2. Законы Кеплера

Законы, по которым планеты обращаются вокруг Солнца, были эмпирически (т.е. из наблюдений) установлены Кеплером, а затем теоретически обоснованы на основе закона всемирного тяготения Ньютона.

Первый закон. Каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.

Второй закон. При движении планеты ее радиус-вектор описывает равные площади за равные промежутки времени.

Третий закон. Квадраты сидерических времен обращений планет относятся друг к другу как кубы больших полуосей их орбит (как кубы их средних расстояний от Солнца):

Третий закон Кеплера является приближенным, из закона всемирного тяготения был получен уточненный третий закон Кеплера :

Третий закон Кеплера выполняется с хорошей точностью только потому, что массы планет много меньше массы Солнца .

Эллипс - это геометрическая фигура (см. рис. 20), у которой есть две главные точки - фокусы F 1 , F 2 , и сумма расстояний от любой точки эллипса до каждого из фокусов есть величина постоянная, равная большой оси эллипса. У эллипса есть центр O , расстояние от которого до наиболее удаленной точки эллипса называется большой полуосью a , а расстояние от центра до самой ближайшей точки называется малой полуосью b . Величина, которая характеризует сплюснутость эллипса, называется эксцентриситетом e :

Окружность является частным случаем эллипса (e =0).

Расстояние от планеты до Солнца изменяется от наименьшего, равного

перигелием ) до наибольшего, равного

(эта точка орбиты называется афелием ).

10.3. Движение искусственных небесных тел

Движение искусственных небесных тел подчиняется тем же законам, что и естественных. Тем не менее, необходимо отметить ряд особенностей.

Главное - размеры орбит искусственных спутников, как правило, сравнимы с размерами планеты, вокруг которой они обращаются, поэтому часто говорят о высоте спутника над поверхностью планеты (рис.21). При этом надо учитывать, что в фокусе орбиты спутника находится центр планеты.

Для искусственных спутников вводят понятие первой и второй космической скорости.

Первая космическая скорость или круговая скорость - это скорость кругового орбитального движения у поверхности планеты на высоте h :

Это минимально необходимая скорость, которую необходимо придать космическому аппарату, чтобы он стал искусственным спутником данной планеты. Для Земли у поверхности v к = 7.9 км/сек.

Вторая космическая скорость или параболическая скорость - это скорость, которую необходимо придать космическому аппарату, чтобы он мог покинуть сферу притяжения данной планеты по параболической орбите:

Для Земли вторая космическая скорость равна 11.2 км/сек.

Скорость небесного тела в любой точке эллиптической орбиты на расстоянии R от тяготеющего центра может быть рассчитана по формуле:

Здесь повсюду см 3 /(г с 2) - это гравитационная постоянная.

Вопросы

4. Может ли случиться прохождение Марса по диску Солнца? Прохождение Меркурия? Прохождение Юпитера?

5. Можно ли увидеть Меркурий вечером на востоке? А Юпитер?

Задачи

Решение: Орбиты всех планет лежат приблизительно в одной плоскости, поэтому планеты двигаются по небесной сфере примерно по эклиптике. В момент противостояния прямые восхождения Марса и Солнца отличаются на 180 o : . Вычислим на 19 мая. 21 марта оно равно 0 o . В день прямое восхождение Солнца увеличивается примерно на 1 o . С 21 марта по 19 мая прошло 59 дней. Значит, , а . На небесной карте можно увидеть, что эклиптика при таком прямом восхождении проходит по созвездиям Весы и Скорпион, значит Марс находился в одном из этих созвездий.

47. Наилучшая вечерняя видимость Венеры (наибольшее ее удаление к востоку от Солнца) была 5 февраля. Когда в следующий раз наступила видимость Венеры в тех же условиях, если ее сидерический период обращения равен 225 d ?

Решение: Наилучшая вечерняя видимость Венеры наступает во время ее восточной элонгации. Следовательно, следующая наилучшая вечерняя видимось наступит во время следующей восточной элонгации. А промежуток времени между двумя последовательными восточными элонгациями равен синодическому периоду обращения Венеры и легко может быть вычислен:

или P =587 d . Значит, следующая вечерняя видимость Венеры в тех же условиях наступит через 587 дней, т.е. 14-15 сентября следующего года.

48. (663) Определить массу Урана в единицах массы Земли, сравнивая движение Луны вокруг Земли с движением спутника Урана - Титанией, обращающегося вокруг него с периодом 8 d .7 на расстоянии 438 000 км. Период обращения Луны вокруг Земли 27 d .3, и среднее расстояние ее от Земли составляет 384 000 км.

Решение: Для решения задачи необходимо воспользоваться третьим уточненным законом Кеплера. Так как для любого тела массой m , обращающегося вокруг другого тела массой на среднем расстоянии a с периодом T :

(36)

То мы имеем право для любой пары обращающихся друг вокруг друга небесных тел записать равенство:

Принимая за первую пару Уран с Титанией, а за вторую - Землю с Луной, а также пренебрегая массой спутников по сравнению с массой планет получим:

49. Принимая орбиту Луны за окружность и зная орбитальную скорость движения Луны v Л = 1.02 км/с, определить массу Земли.

Решение: Вспомним формулу для квадрата круговой скорости () и подставим среднее расстояние Луны от Земли a Л (см. предыдущую задачу):

50. Вычислить массу двойной звезды Центавра, у которой период обращения компонентов вокруг общего центра масс T=79 лет, а расстояние между ними 23.5 астрономических единицы (а.е.). Астрономической единицей называется расстояние от Земли до Солнца, равное примерно 150 млн. км.

Решение: Решение этой задачи аналогично решению задачи о массе Урана. Только при определении масс двойных звезд их сравнивают с парой Солнце-Земля и выражают их массу в массах Солнца.

51. (1210) Вычислите линейные скорости космического корабля в перигее и апогее, если над Землей в перигее он пролетает на высоте 227 км над поверхностью океана и большая ось его орбиты составляет 13 900 км. Радиус и масса Земли 6371 км и 6.0 10 27 г.

Решение: Рассчитаем расстояние от спутника до Земли в апогее (наибольшем расстоянии от Земли). Для этого необходимо зная расстояние в перигее (наименьшее расстояние от Земли) вычислить эксцентриситет орбиты спутника по формуле () и затем определить искомое расстояние используя формулу (32). Получим h a = 931 км.

Еще в стародавние времена ученые мужи начали понимать, что не Солнце вращается вокруг нашей планеты, а все происходит с точностью наоборот. Точку в этом спорном для человечества факте поставил Николай Коперник. Польский астроном создал свою гелиоцентрическую систему, в которой убедительно доказал, что Земля не является центром Вселенной, а все планеты, по его твердому убеждению, вращаются по орбитам вокруг Солнца. Работа польского ученого «О вращении небесных сфер», была издана в немецком Нюрнберге в 1543 году.

Представления о том, как расположены планеты на небосводе первым в своем трактате «Великое математическое построение по астрономии», высказал древнегреческий астроном Птолемей. Он первым предположил, что они совершают свои движения по кругу. Но Птолемей ошибочно считал, что все планеты, а также Луна и Солнце движутся вокруг Земли. До работы Коперника его трактат считался общепринятым как в арабском, так и западном мире.

От Браге до Кеплера

После смерти Коперника его труды продолжил датчанин Тихо Браге. Астроном, являющийся весьма состоятельным человеком, оборудовал принадлежащий ему остров, внушительными бронзовыми кругами, на которые наносил результаты наблюдения за небесными телами. Результаты, полученные Браге, помогли в исследовании математику Иоганну Кеплеру. Движение планет Солнечной системы именно немец систематизировал и вывел три своих знаменитых закона.

От Кеплера до Ньютона

Кеплер впервые доказал, что все 6 известных к тому времени планет двигаются вокруг Солнца не по кругу, а по эллипсам. Англичанин Исаак Ньютон, открыв закон всемирного тяготения, существенно продвинул представления человечества об эллиптических орбитах небесных тел. Его объяснения, что приливы и отливы на Земле происходят под влиянием Луны, оказались убедительными для научного мира.

Вокруг Солнца

Сравнительные размеры крупнейших спутников Солнечной системы и планет Земной группы.

Срок, за который планеты совершают полный оборот вокруг Солнца, естественно различный. У Меркурия, самой ближней к звезде, он составляет 88 земных суток. Наша Земля проходит цикл за 365 дней и 6 часов. Самая крупная в Солнечной системе планета Юпитер завершает свой оборот за 11,9 земных лет. Ну а у Плутона, — наиболее удаленной от Солнца планеты оборот и вовсе составляет 247,7 года.

Следует также учесть, что все планеты в нашей Солнечной системе движутся, не вокруг светила, а вокруг так называемого центра масс. Каждая при этом, вращаясь вокруг своей оси, слегка раскачиваются (подобно юле). К тому же и сама ось может ненамного смещаться.

Солнечная система – это 8 планет и более 63 их спутника, которые открываются все чаще, несколько десятков комет и большое количество астероидов. Все космические тела движутся по своим четким направленным траекториям вокруг Солнца, которое тяжелее в 1000 раз, чем все тела в солнечной системе вместе взятые. Центром солнечной системы является Солнце – звезда, вокруг которой по орбитам обращаются планеты. Они не выделяют тепла и не светятся, а лишь отражают свет Солнца. В солнечной системе сейчас официально признано 8 планет. Вкратце по порядку удаленности от солнца перечислим их все. А сейчас несколько определений.

Планета – это небесное тело, которое должно удовлетворять четырем условиям:
1. тело должно обращаться вокруг звезды (например, вокруг Солнца);
2. тело должно обладать достаточной гравитацией, чтобы иметь сферическую или близкую к ней форму;
3. тело не должно иметь вблизи своей орбиты других крупных тел;
4. тело не должно быть звездой

Звезда – это космическое тело, которое излучает свет и является мощным источником энергии. Это объясняется, во–первых, происходящими в нем термоядерными реакциями, а во–вторых, процессами гравитационного сжатия, в результате которых выделяется огромное количество энергии.

Спутники планет. В солнечную систему входят также Луна и естественные спутники других планет, которые есть у всех них, кроме Меркурия и Венеры. Известно свыше 60 спутников. Большинство спутников внешних планет обнаружили, когда получили фотографии, сделанные автоматическими космическими аппаратами. Наименьший спутник Юпитера – Леда – в поперечнике всего 10 км.

– это звезда, без которой не могло бы существовать жизни на Земле. Она дает нам энергию и тепло. Согласно классификации звезд, Солнце – желтый карлик. Возраст около 5 млрд. лет. Имеет диаметр на экваторе равный 1 392 000 км, в 109 раз больше земного. Период вращения на экваторе – 25,4 дня и 34 дня у полюсов. Масса Солнца 2х10 в 27 степени тонн, примерно в 332950 раз больше массы Земли. Температура внутри ядра примерно 15 млн градусов Цельсия. Температура на поверхности около 5500 градусов Цельсия. По химическому составу Солнце состоит из 75% водорода, а из прочих 25% элементов больше всего гелия. Теперь по порядку разберемся сколько планет вокруг солнца вращается, в солнечной системе и характеристики планет.
Четыре внутренние планеты (ближайшие к Солнцу) – Меркурий, Венера, Земля и Марс – имеют твердую поверхность. Они меньше, чем четыре планеты гиганта. Меркурий движется быстрее других планет, обжигаясь солнечными лучами днем и замерзая ночью. Период обращения вокруг Солнца: 87,97 суток.
Диаметр на экваторе: 4878 км.
Период вращения (оборот вокруг оси): 58 дней.
Температура поверхности: 350 днем и –170 ночью.
Атмосфера: очень разреженная, гелий.
Сколько спутников: 0.
Главные спутники планеты: 0.

Больше похожа на Землю размерами и яркостью. Наблюдение за нею затруднено из–за окутывающих ее облаков. Поверхность – раскаленная каменистая пустыня. Период обращения вокруг Солнца: 224,7 суток.
Диаметр на экваторе: 12104 км.
Период вращения (оборот вокруг оси): 243 дня.
Температура поверхности: 480 градусов (средняя).
Атмосфера: плотная, в основном углекислый газ.
Сколько спутников: 0.
Главные спутники планеты: 0.

По всей видимости, Земля сформировалась из газопылевого облака, как и другие планеты. Частички газа и пыли сталкиваясь, постепенно "растили" планету. Температура на поверхности достигла 5000 градусов Цельсия. Затем Земля остыла и покрылась твердой каменной корой. Но температура в недрах и по сей день довольно высока – 4500 градусов. Горные породы в недрах расплавлены и при извержении вулканов выливаются на поверхность. Только на земле есть вода. Поэтому тут и существует жизнь. Она расположена сравнительно близко к Солнцу, чтоб получать необходимые тепло и свет, но достаточно далеко, чтоб не сгореть. Период обращения вокруг Солнца: 365,3 суток.
Диаметр на экваторе: 12756 км.
Период вращения планеты (оборот вокруг оси): 23 часа 56 мин.
Температура поверхности: 22 градуса (средняя).
Атмосфера: в основном азот и кислород.
Число спутников: 1.
Главные спутники планеты: Луна.

Из – за сходства с Землей полагали, что здесь существует жизнь. Но опустившийся на поверхность Марса космический аппарат признаков жизни не обнаружил. Это четвертая по порядку планета. Период обращения вокруг Солнца: 687 суток.
Диаметр планеты на экваторе: 6794 км.
Период вращения (оборот вокруг оси): 24 часа 37 мин.
Температура поверхности: –23 градуса (средняя).
Атмосфера планеты: разреженная, в основном углекислый газ.
Сколько спутников: 2.
Главные спутники по порядку: Фобос, Деймос.

Юпитер, Сатурн, Уран и Нептун состоят из водорода и других газов. Юпитер превосходит Землю более чем в 10 раз по диаметру, в 300 раз по массе и в 1300 раз по объему. Он более чем вдвое массивнее всех планет Солнечной системы вместе взятых. Сколько планете Юпитер нужно, чтобы стать звездой? Нужно его массу увеличить в 75 раз! Период обращения вокруг Солнца: 11 лет 314 суток.
Диаметр планеты на экваторе: 143884 км.
Период вращения (оборот вокруг оси): 9 часов 55 мин.
Температура поверхности планеты: –150 градусов (средняя).
Число спутников: 16 (+ кольца).
Главные спутники планет по порядку: Ио, Европа, Ганимед, Каллисто.

Это номер 2, по величине из планет солнечной системы. Сатурн привлекает к себе взгляды благодаря системе колец, образованную из льда, камней и пыли, которые обращаются вокруг планеты. Существует три главных кольца с внешним диаметром 270000 км, но толщина их около 30 метров. Период обращения вокруг Солнца: 29 лет 168 суток.
Диаметр планеты на экваторе: 120536 км.
Период вращения (оборот вокруг оси): 10 часов 14 мин.
Температура поверхности: –180 градусов (средняя).
Атмосфера: в основном водород и гелий.
Число спутников: 18 (+ кольца).
Главные спутники: Титан.

Уникальная планета Солнечной системы. Ее особенность в том, что она вращается вокруг Солнца не как все, а "лежа на боку". Уран тоже имеет кольца, хотя их труднее увидеть. В 1986 г. "Вояжер –2" пролетел на расстоянии 64 000 км, у него было шесть часов на фотосъемку, которые он с успехом реализовал. Период обращения: 84 года 4 суток.
Диаметр на экваторе: 51118 км.
Период вращения планеты (оборот вокруг оси): 17 часов 14 мин.
Температура поверхности: –214 градусов (средняя).
Атмосфера: в основном водород и гелий.
Сколько спутников: 15 (+ кольца).
Главные спутники: Титания, Оберон.

На данный момент, Нептун считается последней планетой Солнечной системы. Его открытие происходило способом математических расчетов, а потом уже увидели в телескоп. В 1989 году, "Вояжер–2" пролетел мимо. Он сделал поразительные фотоснимки голубой поверхности Нептуна и его самого крупного спутника Тритона. Период обращения вокруг Солнца: 164 года 292 суток.
Диаметр на экваторе: 50538 км.
Период вращения (оборот вокруг оси): 16 часов 7 мин.
Температура поверхности: –220 градусов (средняя).
Атмосфера: в основном водород и гелий.
Число спутников: 8.
Главные спутники: Тритон.

24 августа 2006 года Плутон потерял статус планеты. Международный астрономический союз вынес решение о том, какое небесное тело следует считать планетой. Плутон не удовлетворяет требованиям новой формулировки и теряет свой «планетарный статус», в то же время Плутон переходит в новое качество и становится прообразом отдельного класса карликовых планет.

Как появились планеты. Ориентировочно 5–6 миллиардов лет назад одно из газопылевых облаков нашей большой Галактики (Млечного пути), имеющее форму диска, начало сжиматься к центру, понемногу формируя нынешнее Солнце. Дальше, по одной из теорий, под действием мощных сил притяжения, большое количество частиц пыли и газа, вращающихся вокруг Солнца, стали слипаться в шары – образуя будущие планеты. Как гласит другая теория, газопылевое облако сразу распалось на раздельные скопления частиц, которые, сжимались и уплотнялись, образовав нынешние планеты. Теперь 8 планет вокруг Солнца вращается постоянно.

Изучение видимого движения планет на неизменном фоне звездного неба позволило дать полное кинематическое описание движения планет относительно инерциальной системы отсчета Солнце - звезды. Траектории планет оказались замкнутыми кривыми, получившими название орбит. Орбиты близки к окружностям с центром в Солнце, а движение планет по орбитам оказалось близким к равномерному. Исключение составляют только кометы и некоторые астероиды, расстояние от которых до Солнца и скорость движения которых меняются в широких пределах, а орбиты сильно вытянуты. Расстояния от планет до Солнца (радиусы орбит) и времена обращения этих планет вокруг Солнца весьма различны (табл. 2). Обозначения первых шести планет, приведенные в таблице, сохранились еще со времен астрологов.

Таблица 2. Сведения о планетах

Название и обозначение планеты	Расстояние от Солнца		Время обращения в земных годах
	В радиусах земной орбиты	В млн. км
Меркурий Земля (или )

В действительности орбиты планет не вполне круговые, а их скорости не вполне постоянны. Точное описание движений всех планет было дано немецким астрономом Иоганном Кеплером (1571-1630) - в его время были известны только первые шесть планет - в виде трех законов (рис. 199).

1. Каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.

2. Радиус-вектор планеты (вектор, проведенный от Солнца к планете) в равные времена описывает равные площади.

3. Квадраты времен обращения любых двух планет относятся как кубы больших полуосей их орбит.

Из этих законов можно сделать ряд выводов о силах, под действием которых движутся планеты. Рассмотрим вначале движение какой-либо одной планеты. Ближайший к Солнцу () конец большой оси орбиты называют перигелием; другой конец называют афелием (рис. 200). Так как эллипс симметричен относительно обеих своих осей, то радиусы кривизны в перигелии и афелии равны. Значит, согласно сказанному в § 27, нормальные ускорения и в этих точках относятся как квадраты скоростей планеты и :

(123.1)

Рис. 199. Если из точки в точку планета перемещается за то же время, что из точки в точку , то площади, заштрихованные на рисунке, равны

Рис. 200. К определению отношения скоростей планеты в перигелии и афелии

Рассмотрим малые пути и , симметричные относительно перигелия и афелия и совершаемые за одинаковые промежутки времени . Согласно второму закону Кеплера площади секторов и должны быть равны. Дуги эллипса и равны и . На рис.200 для наглядности дуги сделаны довольно большими. Если же взять эти дуги крайне малыми (для чего промежуток времени должен быть малым), то отличием дуги от хорды можно пренебречь и рассматривать описанные радиус-вектором секторы как равнобедренные треугольники и . Их площади равны соответственно и , где и - расстояния от афелия и перигелия до Солнца. Значит, , откуда . Наконец, подставляя это соотношение в (123.1), найдем

. (123.2)

Так как в перигелии и афелии тангенциальные ускорения равны нулю, то и представляют собой ускорения планеты в этих точках. Они направлены к Солнцу (вдоль большой оси орбиты).

Расчет показывает, что и во всех других точках траектории ускорение направлено к Солнцу и изменяется по тому же закону, т. е. обратно пропорционально квадрату расстояния планеты от Солнца; поэтому для любой точки орбиты

где - ускорение планеты, - расстояние от нее до Солнца. Таким образом, ускорение планеты обратно пропорционально квадрату расстояния между Солнцем и планетой. Рассматривая угол, составляемый радиус-вектором планеты с касательной к траектории, видим (рис. 201), что при движении планеты от афелия к перигелию тангенциальная составляющая ускорения положительная скорость планеты растет; наоборот, при движении от перигелия к афелию скорость планеты уменьшается. В перигелии планета достигает наибольшей скорости, в афелии - наименьшей скорости движения.

Для выяснения зависимости ускорения планеты от расстояния ее до Солнца мы воспользовались первыми двумя законами Кеплера. Эту зависимость удалось найти потому, что планеты движутся по эллипсам, изменяя свое расстояние от Солнца. Если бы планеты двигались по окружностям, расстояние от планеты до Солнца и ее ускорение не менялись бы, и мы не смогли бы найти эту зависимость.

Рис. 201. При движении планеты от перигелия к афелию сила притяжения уменьшает скорость планеты, при движении от афелия к перигелию – увеличивает скорость планеты

Но при сравнении между собой ускорений различных планет можно удовлетвориться приближенным описанием движения планет, считая, что они движутся равномерно по окружностям. Обозначим радиусы орбит двух каких-нибудь планет через и , а периоды их обращения - через

Подставляя отношение квадратов времен обращения в формулу (123.4), найдем

Этот вывод можно переписать в таком виде: для любой планеты, находящейся на расстоянии от Солнца, ее ускорение

где - одна и та же постоянная для всех планет солнечной системы. Таким образом, ускорения планет обратно пропорциональны квадратам их расстояний от Солнца и направлены к Солнцу.